Thế \(\left(x;y\right)=\left(0;-1\right)\) vào ta được \(f\left(0\right)=0\)

Thế \(y=0\Rightarrow f\left(f\left(x\right)\right)=x\)

Do vế phải của biểu thức trên là hàm bậc nhất \(\Rightarrow\) có tập giá trị là \(Z\Rightarrow f\) là toàn ánh

Giả sử tồn tại \(x_1;x_2\) sao cho \(f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=a\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(f\left(x_1\right)\right)=x_1\Rightarrow f\left(a\right)=x_1\\f\left(f\left(x_2\right)\right)=x_2\Rightarrow f\left(a\right)=x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1=x_2\Rightarrow f\) là đơn ánh \(\Rightarrow f\) là song ánh

Thế \(\left(x;y\right)=\left(1;-1\right)\Rightarrow f\left(0\right)=1+f\left(-1\right)\Rightarrow f\left(-1\right)=-1\)

Thế \(\left(x;y\right)=\left(-1;f\left(1\right)\right)\Rightarrow f\left(f\left(-1\right)+f^2\left(1\right)\right)=-1+f\left(f\left(1\right)\right)\)

\(\Rightarrow f\left(f^2\left(1\right)-1\right)=-1+1=0\Rightarrow f^2\left(1\right)-1=0\) (do \(f\) song ánh)

\(\Rightarrow f^2\left(1\right)=1\Rightarrow f\left(1\right)=1\) (cũng vẫn do \(f\) song ánh nên \(f\left(1\right)\ne-1\) do \(f\left(-1\right)=-1\))

Thế \(\left(x;y\right)=\left(1;x\right)\Rightarrow f\left(1+x\right)=1+f\left(x\right)\) (1)

Từ đẳng thức trên, do \(x\in Z\) nên ta có thể quy nạp để tìm hàm \(f\):

- Với \(x=0\Rightarrow f\left(1\right)=1\)

- Với \(x=1\Rightarrow f\left(2\right)=f\left(1+1\right)=1+f\left(1\right)=2\)

- Giả sử \(f\left(k\right)=k\), ta cần chứng minh \(f\left(1+k\right)=1+k\), nhưng điều này hiển nhiên đúng theo (1)

Vậy \(f\left(x\right)=x\) là hàm cần tìm

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\z^2-z+1=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-1\\z^2-z-6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=k\\y=2k-1\\\left[{}\begin{matrix}z=3\\z=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) với \(k\in Z\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=7\\z^2-z+1=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=k\\y=2k-7\\\left[{}\begin{matrix}z=0\\z=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) với \(k\in Z\)

Lời giải:
\(A=\left(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}\right)\left(\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}+\frac{1}{x-y}\right)-\frac{x}{(y-z)(z-x)}-\frac{x}{(y-z)(x-y)}-\frac{y}{(z-x)(x-y)}-\frac{y}{(z-x)(y-z)}-\frac{z}{(x-y)(y-z)}-\frac{z}{(x-y)(z-x)}\)

\(=0-\frac{x(x-y)+x(z-x)+y(y-z)+y(x-y)+z(z-x)+z(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}\)

\(=0-\frac{x^2+xz+y^2+xy+z^2+zy-(xy+x^2+yz+y^2+zx+z^2)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0-\frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0\)

Ta có: \(\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^2+2015|x-z|=2017\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x-y=a\\y-z=b\end{cases}\left(a,b\in Z\right)}\) thì ta có

\(a^3+b^2+2015|a+b|=2017\)

+ Nếu a lẻ b lẻ thì a + b là số chẵn \(\Rightarrow\)VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên không tồn tại a, b thỏa đề bài.

+ Nếu a lẻ b chẵn thì a + b là số lẻ \(\Rightarrow\)VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên không tồn tại a, b thỏa đề bài.

+ Nếu a chẵn b lẻ thì a + b là số lẻ \(\Rightarrow\)VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên không tồn tại a, b thỏa đề bài.

+ Nếu a chẵn b chẵn thì a + b là số chẵn \(\Rightarrow\)VT là số chẵn mà VP là số lẻ nên không tồn tại a, b thỏa đề bài.

Vậy không tồn tại a, b nguyên thỏa đề bài hay là không tồn tại x, y, z nguyên dương thỏa đề bài.

mình chưa học

tớ không biết